Matemática - página inicial NÚMEROS PRIMOS
Quantos Primos Existem?

"Não há ramo da matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real."

Nicolai Lobachevsky (1793-1856)

Quantos números primos existem? Haverá um fim na sequência 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17,... a partir de um ponto em que todos os números serão compostos?

O seguinte teorema, conhecido por Euclides 300 anos antes de Cristo, mostra que o número de primos é infinito

Teorema (Euclides) - A sequência de números primos é infinita

Prova

Sejam p1=2, p2=3, p3=5, p4=7 a sequência dos números primos. Digamos que essa sequência seja finita e termine em pn. Seja p = p1p2p3...pn + 1.
Sabemos que todo número maior do que 1 ou é primo ou é composto, o número p definido acima não é divisível por nenhum dos pi conhecidos, pois tal divisão teria resto 1. Logo temos um número p maior do que todos os primos conhecidos e esse número p ou é primo ou é composto. Se p for primo descobrimos um número que não estava na sequência dada e portanto a sequência dos primos não é finita. Se p for composto ele então é produto de primos, e como vimos esses fatores primos não podem ser nenhum dos números da seqência original e novamente achamos primos que não estavam na sequência original provando a infinidade dos primos.

Como exemplo imagine que todos os primos conhecidos fossem 2, 3 e 5.
p = 2.3.5 + 1 = 31. O número 31 não é divisível nem por 2, nem por 3 e nem por 5 pois tal divisão teria resto 1. Logo 31 ou é primo ou composto. E facilmente verificamos que 31 é primo.

Seja agora todos os primos conhecidos 2, 3, 5, 7, 11, 13.
p = 2.3.5.7.11.13 + 1 = 30031. Usando o método das divisões sucessivas chegamos a 30031 = 59 x 509 e portanto achamos dois primos (59 e 509) que não estavam na sequência original.

Caso você queira mandar alguma sugestão escreva para Guilherme.

Informações de copyright.
Última revisão: março 08, 2004.